Rațiunea numerelor... iraționale! (p2): φ

•Doar întâmplări cu numere? •Azi: Proporția de aur •Reîmprospătare a memoriei •Secret artistic în antichitate? •Discretă inserție universală •O întrebare deschisă

• Doar întâmplări cu numere? Există, distilate în milenii de căutare sau cunoaștere, numere legate de armonii ale naturii, rezonante în sensibilitatea umană. Nesurprinzător, sunt întâlnite în primul rând în arte. Ca exemplu major, muzica și-a distilat de secole „alfabetul” în structuri dominate riguros de numere. Spre exemplu: multiplii simpli de frecvențe sună armonios împreună (în particular, dublarea frecvenței – octava, primul multiplu). Sau: nu doar dublarea, ci și 3/2 este multiplicarea unei frecvențe de bază, astfel încât nota rezultată să fie, de asemenea plăcută, în armonie, la combinarea cu cea de bază. Beneficiul, în acest caz este menținerea în octava de pornire. Sau: numărul 12 apare deoarece octava (dublarea succesivă a frecvenței) a fost plăcut de „divizat” în tot atâtea note prin procedeul sus-descris. Dar, să lăsăm pentru alt episod tentația divagației numero-muzicale, păstrând ideea că armonia în sunete (sau imagini, după cum se va argumenta) pare asociată și unor construcții numerice.

Tot esteticii frumosului, însă vizual, se adresează subiectul acestui episod: numărul notat φ (litera greacă fi), numit și...

• ...Proporția de aur: Cea mai cunoscută implementare este în raportul unor dimensiuni ale Parthenonului elen – capodoperă a arhitecturii antice. Un număr întru armonie estetică, regăsit și în alte instanțe uimitoare, dincolo de originea sa matematică, despre care vom vorbi, de asemenea. Tot irațional (scurtă reamintire, mai jos), are valoarea φ = 1.618033988749895… cu (puteți adăuga dumneavoastră) infinite zecimale.

• Ce este un număr irațional stă scris și la începutul episodului trecut. Fiind important, să-l caracterizăm din nou drept acela care – după cum îi arată numele - nu poate fi reprezentat printr-un raport (fracție, rație) între două numere întregi. Un astfel de număr are infinite zecimale, fără tipare sau probabilități de apariție anticipabile. Cele mai cunoscute numere iraționale sunt π, φ (numit proporția de aur), e (baza logaritmului natural) și radicalii numerelor prime

• Simple definiri ale lui φ: pentru că recursul inițial este la arhitectura antică, să spunem că se află în proporție de aur laturile unui dreptunghi ale căror lungimi se află în raport de 1.618033988... ceea ce este echivalent cu egalitatea între rapoartele lungime/lățime și (lungime+lățime)/lungime, adică o proporție.

Un astfel de dreptunghi are proprietatea remarcabilă că, dacă se delimitează un pătrat de latură egală cu lățimea dreptunghiului, suprafața rămasă este... tot un „dreptunghi de aur”. Diviziunea poate, astfel, continua la infinit, fără pierderea proporției de aur inițiale.

Însă, φ poate fi exprimat și algebric (spre deosebire de π), ca soluție a unei ecuații care se poate scrie în cel puțin două feluri. De exemplu: φ2 = φ + 1 ceea ce, pentru unii, nu-i deloc banal: proporția de aur este numărul care, adunat cu 1 dă... propriul lui pătrat! Alte căi matematice de obținere a lui φ, deși foarte interesante, trec de cadrul acestui episod. Revenind la știința celor vechi:

• φ este cunoscut din antichitate: Menționarea numărului este considerată apărând la Euclid, marele matematician al antichității greco-romane, productiv în jurul anilor 300 î.Hr. În celebra sa lucrare Elemente, el numește φ medie și extremă rație. Dar, Euclid compilase creativ bună parte din resurse existente, încă mai vechi. Astfel, este mai puțin cunoscut Hippasos din Metaponte, erudit trăitor în secolul al V-lea î.Hr. Acesta este desemnat uneori ca descoperitor al numerelor iraționale – cum știm, cele imposibil de exprimat prin rapoarte. Între acestea, Hippasos l-ar fi cunoscut și pe φ. Baza acestor credite este evazivă: între altele, interpolarea referințelor provenite de la filozoful arab neoplatonic Iamblichus. Alte surse și corelații ar susține, în plus, aserțiunea că Hipassos îl dovedise irațional și pe „radical din doi”.

O neașteptată legătură cu numerele muzicii, evocate la începutul articolului: conform unei relatări a lui Aristoxenus, aceluiași Hipassos îi este atribuit primul experiment fizico-matematic prin care se asociau sunetele produse prin lovirea a patru discuri cu grosimile acestora. Dublarea grosimii producea octava, iar îngroșarea cu 3:2 (de 1,5 ori) a discului producea cvinta, de exemplu Do-(Re-Mi-Fa-)Sol, cinci note! Hippasos, o personalitate fascinantă, pe lângă care nu se poate trece, chiar cu incertitudinile izvoarelor istorice!

Revenind la tema episodului, este notabil că, la începuturile antice, revelarea existenței numerelor iraționale a provocat reacții furibunde adepților pitagoreici, care modelau lumea după fracții, rații. Erezia irațională a lui Hippasos a fost considerată demnă de moartea prin înecare cu care a fost pedepsit! Dezvăluise, însă, și un secret al geometriei timpului său, comițând păcatul mortal.

• Componenta estetică se poate ilustra arhitectonic pornind de la asociatul „dreptunghi de aur”: acela în care laturile sunt în raportul φ, adică 1,618/1. Pe un astfel de sistem au bazat grecii antici proiectarea fațadei Parthenonului. Faptul rămâne, chiar cu obiecțiile față de măsuratorile aproximative, datorate degradării monumentului. Întocmai cum proiectanții piramidei lui Keops au codat π ca raport al unor dimensiuni fundamentale, arhitecții eleni au lăsat posterității un jalon estetic: φ, proporția de aur.

Cum se întâmplă adesea, este greu de atribuit „prima folosire a denumirii” și în acest caz. Asocierea metaforică a proporției cu aurul a apărut târziu, la începutul secolului al XX-lea, meritele fiind împărțite între matematicianul american Mark Barr și cel german Martin Ohm (fratele celebrului autor al Legii lui Ohm). Barr a folosit notația φ (fi) în onoarea renumitului sculptor antic Fidias, activ în sec V î.Hr și în ale cărui opere a fost observată proporția. Nu este exclusă, cum s-a întâmplat cu alte cunoștințe matematice și arhitectonice ale vremii, nici situarea lui φ în rândul secretelor antice.

De atunci, însă, pe firul timpului...

• Renașterea a preluat și dezvoltat cunoașterea antică lui φ: un exemplu este lucrarea De divina proportione, datată 1509, cu doi autori remarcabili: matematicianul italian Luca Pacioli și eruditul Leonardo da Vinci ca... ilustrator. Pacioli scrie despre proporțiile matematice și artistice, dedicând prima parte (din trei) ale cărții în întregime Proporției, numită și argumentată ca Divină. Leonardo produce zeci de ilustrații. Ce lucrare! Biblioteci din Geneva și Roma păstrează, azi, primele două manuscrise, anterioare ediției tipărite din 1509. Este notabil că autorul sus-numit, Luca Pacioli, îl creditează pe marele matematician alias Fibonnaci ca sursă de cunoștințe și inspirație a Divinei Proportione.

Odată cunoscute beneficiile estetice, partajarea spațiilor picturilor conform De divina proportione a fost practicată de artiști și arhitecți, în căutarea armoniilor, deci și inefabilei, doritei plăceri provocate de artă. Însuși maestrul Leonardo structurase zone ale celebrelor Cina cea de taină și Mona Lisa folosind Proporția de aur.

• În matematici, la φ se ajunge în două moduri remarcabile, mai ales prin independența acestora, inclusiv cronologică: prin sec al XII-lea (!) era valoarea către care tind (limita cum i se spune azi) rapoartele termenilor succesivi din Șirul lui Fibonacci; iar din analiza matematică, elementară azi, apare ca soluție a ecuației de gradul al doilea, menționate la începutul episodului: φ2 = φ + 1.

Fibonacci (matematicianul Leonardo Pisano) a fost o verigă a filiațiilor ideatice științifice care au răzbătut din antichitate prin Evul Mediu timpuriu european via cunoașterea arabă. În lucrarea sa Liber abaci (Cartea calculelor), datată 1202, el promovează trecerea de la scrierea numerală romană la cea arabă, o conversie-cheie pentru dezvoltarea -decolarea mai bine-zis- nu doar a matematicilor, ci chiar a umanității. Fibonacci este considerat autor al celebrului său șir, în care fiecare termen este suma precedenților doi. Ei bine, în mod remarcabil, φ (Proporția de aur) este valoarea către care tind rapoartele termenilor succesivi ai șirului – conform începutului, poate abrupt, al acestui paragraf.

• Discretă inserție universală? Proporția de aur și asociatul său Șir al lui Fibonacci au fost detectate în natură de la structuri (formațiuni) miniaturale până la forme ale unor sisteme stelare sau galaxii. Și unele fenomene meteorologice par modelate de remarcabilele numere. Numerele petalelor, spiralele traseelor semințelor în floarea-soarelui și ale cochiliilor melcilor sunt alte evocate exemple. Interesantă este observația că aranjamentul optim al umplerii cu semințe a discului florii-soarelui nu se bazează pe o diviziune dată de o fracție, ci... de un număr irațional: φ! În mod interesant, fizionomiile conțin măsuri apropiate Proporției de aur... cu cât mai apropiate, cu atât, se pare, mai armonioase!

• O întrebare deschisă: cum, prin ce convergență se explică prezența în naturi banale (corole, cochilii), globale (spirale de uragane) sau universale (forme de galaxii) a unor produse ale inteligenței, precum Șirul lui Fibonacci sau Proporția de aur? Sunt, oare, înnăscute armoniile în Univers și în ființa umană, adăugând, astfel, argumentației Universului antropic - temă abordată deja? Chiar ne-ar surprinde să aflăm că valorile constantelor universale, tot mai bine aproximate doar experimental dar niciodată finite... ar fi numere iraționale?

Rezistând continuării tentațiilor speculative, ereziile moderne oferă, cel mult, pseudo-teme de reflecție.

Redactor Florin VASILIU