Rațiunea numerelor iraționale (p1: π)

• Un număr irațional este acela care – după cum îi arată numele - nu poate fi reprezentat printr-un raport (fracție, rație) între două numere întregi. Un astfel de număr are infinite zecimale, fără tipare sau probabilități de apariție anticipabile. Cele mai cunoscute numere iraționale sunt π, Φ (numit proporția de aur), e (baza logaritmului natural) și radicalii numerelor prime:

• π este supervedeta: raportul între lungimea și diametrul oricărui cerc. Are valoarea 3,1415926535... iar numărul zecimalelor presupus (sau dovedit?) infinit cunoscute a crescut de la 1,25 milioane în 1996 la peste 51 de miliarde (!) în prezent. Universitatea din Tokyo oferă publicului primele 4,2 miliarde. Curios a le cunoaște? Rezervați spațiu de memorie: doar 50 de milioane de zecimale ocupă 50 de megabaiți.

La ce-ar servi omului obișnuit? Cel mai probabil – să rezolve probleme simple prin calculul lungimii, ariei sau volumului unor obiecte (parțial) circulare sau – pentru cei mai perseverenți - să-și găsească data nașterii în succesiunea zecimalelor. Sunt 99,995% șanse ca orice număr de 7 cifre să apară în primele 100 de milioane de zecimale ale lui π. Același om obișnuit ar fi, poate, descumpănit să știe că, datorită necunoașterii exacte a valorii numărului, nu se poate determina exact aria, nici lungimea oricărui cerc. Nici că se poate desena un poligon – de exemplu, un pătrat – cu aria egală cu a unui cerc dat.

La ce servește oamenilor de știință?

• π este cunoscut din antichitate, deși a fost numit cu litera greacă doar începând cu secolul al 18-lea de William Jones, matematiciann galez. Primul calcul al lui π, găsit pe pe o tăbliță de lut, îi este atribuit lui Arhimede, în sec 3 î.Hr. Anticii îl cunoșteau că există ca multiplicator de la diametru la circumferință cel târziu la 2500 î.Hr.! De unde? este o întrebare la care se poate răspunde numai convențional, de vreme ce egiptenii l-au inclus în măsurile piramidelor, nefolosind, totuși, documetar, roata, deci nici cercul. De altfel, formidabilele cunoștințe matematice ale unor societăți - precum cea egipteană, extrem orientală, indiană sau central-sud-americană, înfloritoare în urmă cu milenii sunt considerate ca simplu fapt firesc azi, în mainstream. Înapoi la pi:

• Cum se calculează? Experimental, cu erori posibile chiar și la prima sau a doua zecimală: de exemplu, împărțind lungimea unei sfori care închipuie un cerc la diametrul acestuia. Bineînțeles că procedeul induce erori, oricât s-ar crește – pentru precizie – dimensiunea figurii. Învățații au înțeles aceasta și au dezvoltat metode teoretice, dintre care cele geometrice au primat cronologic. Astfel, metoda poligonală pentru determinarea lui π a dominat până în secolele 16-17: aceasta se baza pe calculul perimetrelor poligoanelor cu tot mai multe laturi, înscrise, respectiv circumscrise cercului. Acestea mărgineau superior și inferior lungimea cercului, încadrându-l. Împărțind perimetrele astfel determinate la raza -cunoscută- se afla intervalul tot mai mic în care se situa valoarea exactă a lui π. Prin admirabile procedee geometrico-matematice, s-a reușit calcularea perimetrelor unor poligoane inscriptibile cu sute de laturi: astfel, matematicieni (pre)medievali au dedicat zeci de ani calculând tot mai multe zecimale exacte ale lui π.

Dar, secolul al 17-lea a însemnat și apariția disciplinei numite azi analiză matematică. Prin aceasta, s-au putut extinde, calculabil, „la infinit” pașii necesari obținerii unor valori tot mai precise ale lui π. Metoda poligonală a fost abandonată. Zeci, apoi sute de zecimale au fost determinate analitic. Mari inteligențe matematice au produs formule iterative de apropiere de intangibila valoare exactă, formule care au avut nevoie doar de super-calculatoare.

Radio-cititorii interesați pot găsi pe net informații interesante și inteligibile despre bazele și direcțiile eforturilor moderne pentru aflarea, cât mai precisă, a lui π. Chiar și rezumarea ar depăși propunerea prezentului episod. Doar o mențiune cu privire la erori: acestea au apărut și, nedetectate, au alterat succesiunea calculelor. De aceea, posibilitatea de a greși (desigur, nu în mod trivial matematic) a stat mereu în atenție, de exemplu prin întrebarea cum se poate certifica o zecimală a lui π ca fiind corectă ?

Nesurprinzător, la aceasta au avut de răspuns nu numai matematicienii, ci și (sau mai ales, în ultimul timp) informaticienii la vârf, confruntați -nu numai preocupați- încontinuu cu stresarea programelor prin date și iterații colosale. De ce? Și, revenind la π, la ce bun zeci de miliarde zecimale exacte?

• Unde și cum servește π Știința? Bineînțeles, oriunde apare cel puțin un fragment de cerc, suprafață sau corp generat prin fragmentul respectiv. Toate obiectele rotunde au fost proiectate folosind numărul π și apoi realizate cu mașini având axe, pinioane, rulmenți, butoane și altele tot rotunde, produse la rându-le cu ajutorul altor mașini.

O întrebare interesantă în contextul folosirii numărului π în calculele contemporane care pornesc cu generarea computerizată a cercului se referă la precizia acestuia: câte, din miliardele zecimale cunoscute ar fi suficiente în practică?

Sigur că răspunsul variază cu toleranțele admisibile ale zonelor circulare sau sferice vizate: una este un ax de ceas ori o bilă de rulment, alta – matrița unui pahar sau a unei mingi de polo, obiecte relativ nespectaculoase. Dar:

Astrofizica și călătoriile spațiale sunt domenii modelate intensiv utilizând π. Mark Rayman, eminent om de știință al NASA și inginerul-șef al celebrei JPL Laboratories, firmă-furnizor major de produse și servicii în domeniu a răspuns întrebării celor curioși să afle câte zecimale exacte ale lui π sunt folosite în acest domeniu al excelenței științifice: „Pentru cele mai precise calcule, utilizate la navigația interplanetară, la JPL folosim valoarea 3,141592653589793. (...) Cred că (prin trei exemple – n.red.) putem chiar înțelege că nu există calcule realiste fizic, pe care oamenii de știință le-ar putea face vreodată, care să necesite includerea, nici măcar pe departe, a atâtor zecimale...” Lăsăm radio-cititorilor interesați plăcerea descoperirii exemplificărilor simple oferite de dl. Rayman. Este suficient să notăm că, folosind valoarea cu 15 zecimale de mai sus, lungimea parcurgerii la sol a Ecuatorului, cu toate neuniformitățile, ar diferi cu 1/10000 (a zece mia parte!) din grosimea firului de păr... de lungimea cercului calculat prin raza acceptată la Ecuator.

Doar 15 zecimale exacte ale lui π (din zecile de miliarde cunoscute) sunt suficiente pentru orientarea antenelor celor mai îndepărtate sonde spațiale. Afirmația a primit chiar de curând o indirectă validare: semnale utile au fost recepționate de la sonda Voyager 1, lansată în 1977 și aflată în afara Sistemului Solar, la 24 de miliarde (!) Km de Pământ. Undeva, pe imaginara sferă cu această rază și centru sonda, se află Terra – infim loc de emisie-recepție pentru sondă. Dacă evaluarea pe baza sus-enumeratelor prime 15 zecimale ale lui π a locației Pământului ar fi greșită, comunicația nu ar avea loc.

Cât despre tehnologia terestră – aceasta limitează la zecimi de micron (100 nanometri) precizia oricărei prelucrări prin -să numim- pilire (grinding). Radio-cititorii interesați ar găsi pe net chestii interesante despre extremele precizii tehnologice din prezent. Oricum, nimic care să necesite, măcar pe departe, peste 10 zecimale ale lui π.

• ...atunci -din nou- la ce bun străduința pentru cunoașterea a zeci de miliarde zecimale exacte? Răspunsul are de-a face -se putea altfel?- cu informatica și (super)calculatoarele. O utilizare semnificativă este folosirea unui algoritm acceptat de calcul al infinitelor zecimale drept așa-numit generator de numere sau secvențe pseudoaleatoare. Mai pe înțeles – numere sau grupuri de numere în succesiune care pare „cu totul întâmplătoare”, fără vreo legătură de apariție probabilistică. Astfel de mașini și produse de calcul sunt demult obiect de teorie și practică științifică, cu aplicații care depășesc cadrul acestui episod.

Nu mai puțin decât o „piatră de încercare” a computerelor și algoritmilor este calculul repetitiv, de miliarde, zeci de miliarde de ori. Se „vânează” posibile erori asociate numerelor sau iterațiilor foarte mari, care pot, în practică, „faulta” predicția teoretică și/sau tehnologică. Ei bine, algoritmii de calcul ai lui π se pretează admirabil acestui scop de stresare. În plus, colosal de multele succesiuni de operații sunt folosite la evaluarea eforturilor de optimizare, eficientizare a algoritmilor de calcul.

• Puțini cunosc, însă, neașteptata apariție a numărului π pe bază... probabilistică! Astfel, π apare implicat în probabilitatea producerii unui eveniment din cât mai multe încercări! În cel mai simplu caz al procedurii expuse de marele matematician, naturalist și cosmolog francez Buffon (1707-1788) se lasă să cadă un ac pe o hârtie cu linii paralele, trasate la distanță egală cu lungimea acului. Ei bine, π apare, din ce în ce mai precis, ca 2 împărțit la probabilitatea ca acul să intersecteze, la cădere, o linie. Cu cât mai multe încercări, cu atât mai precis.

Clasa aceasta de experimente, dezvoltate între timp și numite azi de tip Monte-Carlo, cuprinde și un altul, bazat pe numărarea punctelor „stropite” pe un desen geometric. Invităm radio-cititorii interesați să descopere procedeul, iar pe cei răbdători, perseverenți, să-l verifice pe cel cu acul, mai sus-expus.

Redactor: Florin VASILIU.